Mathématiques appliquées - 3e année de Licence

Calcul différentiel et équations différentielles

ECTS : 8

Enseignant responsable : BORIS HASPOT (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/haspot-boris)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 78

Description du contenu de l'enseignement :

Ce cours permet de réviser beaucoup de notions d'analyse et d'algèbre linéaire de L1 et L2. Différentielle

1. Courbe paramétrée dans ℝn. Tangente orientée
2. Application dérivable sur un ouvert de ℝn ou d'un espace vectoriel réel de dimension finie
3. Dérivée partielle
4. Accroissements finis
5. (Interlude de topologie) Complétude d'espace fonctionnel et le théorème du point fixe

1. Homéomorphismes et difféomorphismes
2. Théorème d'inversion locale (avec preuve)
3. Corollaires et exemples
4. Théorème des fonctions implicites
5. Exemples d'application du TFI

1. Equations différentielles, motivations et exemples de la physique (Newton, SIR, Lotka-Volterra)
2. Rappel sur la forme normale de Jordan et sa réellification
3. Systèmes linéaires à coefficients constants, exponentielle
4. Cas de la dimension, portraits de phases, conjugaison
5. Systèmes linéaires (fin). Équations d‘ordre supérieur
6. Équations d‘ordre supérieur à coefficients constants. Principe de comparaison linéaire
7. Cas des équations autonomes en dimension 1, méthode de séparation des variables. Cas de la dimension 2
8. Équations non-linéaires : théorème de Cauchy-Lipschitz, théorème de redressement
9. Solution maximale, explosion en temps fini, existence globale
10. Lemme de Gronwall, continuité par rapport à la donnée initiale
11. Équations autonomes. Trajectoires, équilibres, linéarisation de l'équilibre, stabilité linéaire
12. Schémas d'Euler implicite et explicite
13. Méthode de RK explicites
14. Stabilité, consistance et convergence
15. Introduction à la stabilité de Lyapunov, fonction de Lyapunov
16. Exemple de Lokta-Volterra

Intégrale de Lebesgue et probabilités

ECTS : 10

Enseignant responsable : JOSE TRASHORRAS (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/trashorras-jose)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 117

Description du contenu de l'enseignement :

 Intégrale de Lebesgue

1. Rappels sur l'intégrale de Riemann.
   
2. Fonctions Riemann-intégrables, fonction caractéristique de Q
   
3. Tribu, tribu engendrée, tribu borélienne sur R, sur la droite achevée et sur Rn, tribu produit
   
4. Tribu réciproque (“tribu engendrée par une v.a.”), tribu image
   
5. Mesures positives, probabilités
   
6. Fonctions mesurables, lien avec la continuité, opérations sur les fonctions mesurables, mesure image
   
7. Classe monotone, exemple : unicité de la mesure de Lebesgue
   
8. Fonctions étagées, intégrale des fonctions étagées positives
   
9. Approximation des fonctions mesurables par des fonctions étagées, intégrale des fonctions mesurables
   
10. Lemme de Fatou, théorème de convergence monotone
    
11. Fonctions intégrables, théorème de convergence dominée
    
12. Intégrales dépendant d'un paramètre
    
13. Lien avec le calcul différentiel
    
14. Lien avec l'intégrale de Riemann
    
15. Espaces L1 et L2, complétude
    
16. Espaces Lp, inégalités de Hölder, Jensen, Minkowski
    
17. Mesures produit
    
18. Théorème de Fubini
    
19. Formule du changement de variables

Probabilités

1. Espace de probabilité. Variable aléatoire et loi d'une variable aléatoire. Variables discrètes ou à densité
   
2. Espérance et loi d'une variable aléatoire, lois marginales
   
3. Moments d'ordre p, variance, inégalités associées
   
4. Fonction caractéristique, caractérisation de la loi, exemples
   
5. Indépendance
   
6. Loi produit, caractérisations de l'indépendance
   
7. Regroupements par paquets, indépendance dans le cadre d'une famille infinie
   
8. Lemme de Borel-Cantelli, loi faible des grands nombres, loi du 0-1
   
9. Notions de convergence
   
10. Implications entre les modes de convergence
    
11. Loi forte des grands nombres
    
12. Convergence en probabilités
    
13. Théorème central limite
    
14. Vecteurs gaussiens
    
15. Espérance conditionnelle dans L2
    
16. Théorème de Radon-Nikodym
    
17. Espérance conditionnelle dans L1

Compétences à acquérir :

Introduction à l’intégrale de Lebesgue et à la théorie des probabilités.

Pré-requis recommandés

Les enseignements de L1 et L2 de la licence MIDO

Mode de contrôle des connaissances :

Deux épreuves écrites

Bibliographie, lectures recommandées :

Philippe Barbe et Michel Ledoux : « Probabilité »

Anglais 5

ECTS : 2

Enseignant responsable : CATHERINE BOILLOT-PATTERSON (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/boillot-patterson-catherine)

Langue du cours : Anglais

Volume horaire : 19.5

Description du contenu de l'enseignement :

Throughout the semester, students work on audio and visual materials with a very strong emphasis on speaking. Group presentations and class participation are marked. grammar is studied in context. The written test is in relation to what has been studied in class. CV's, letters of motivation as well as interview techniques are studied.

Compétences à acquérir :

All students should be able to carry out a high level conversation on a variety of subjects. To understand and be understood using clear and concise sentences 

Pré-requis obligatoires

none

Pré-requis recommandés

none

Mode de contrôle des connaissances :

All continuous assessment

Statistical modelling

ECTS : 6

Enseignant responsable : JUDITH ROUSSEAU (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/rousseau-judith)

Langue du cours : Anglais

Volume horaire : 49.5

Description du contenu de l'enseignement :

- Statistics, the what and why
- Probabilistic models for statistics : parametric and non parametric models, identifiability
- Convergence theorems
- Likelihood function, statistical information, and likelihood inference
- Bayesian inference

Compétences à acquérir :

This course is the first part of the two L3 statistics courses. It covers the fundamentals of parametric statistics, both from mathematical and methodological points of view, with some forays into computational statistics. The main theme is that modelling is an inherent part of the statistical practice, rather than an antecedent to the statistical step. Data may be a given, while models almost never are. This means one should keep a critical eye about models and develop critical tools to assess their adequation. Including, first and foremost, an assessment by simulation (Monte Carlo) methods. The course is entirely in English, except for the partial and final exams. Some practicals (TP) will be included, covering R language programming and applications to the bootstrap and Monte Carlo methodologies.

Pré-requis obligatoires

A first course in (continuous) probability theory covering standard distributions, expectations, limit theorems, and conditional distributions

Pré-requis recommandés

A first course in (continuous) probability theory covering standard distributions, expectations, limit theorems, and conditional distributions

Mode de contrôle des connaissances :

Mid-term exam and final exam, potentially completed by quizzes and projects along the semester

Bibliographie, lectures recommandées :

Casella and Berger (1989) Statistical Inference. Duxbury, 

L. Wasserman : All about statistics.

Quantum mechanics

ECTS : 6

Enseignant responsable : ASBJORN LAURITSEN (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/lauritsen-asbjorn)

Langue du cours : Anglais

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

1. Wave functions in 1D -- Wave functions, probability, position and momentum operators, the Schrödinger equation, particle in a square well
2. Formalism of quantum mechanics -- Hilbert spaces, the Fourier transform, postulates of quantum mechanics
3. The harmonic oscillator -- Ladder operators, eigenfunctions
4. The Hydrogen atom -- Angular momentum and spin, orbitals
5. Multiple particles -- Bosons and fermions

Compétences à acquérir :

Introductory knowledge of quantum mechanics

Graph algorithms

ECTS : 4

Enseignant responsable : MICHAIL LAMPIS (https://www.lamsade.dauphine.fr/~mlampis/)

Langue du cours : Anglais

Volume horaire : 36

Description du contenu de l'enseignement :

This course, taught in English, covers the fundamentals of graph theory, its applications in computer science and operations research, and the most important graph algorithms. The focus is on the theoretical analysis of algorithms with performance guarantees. Topics covered include : - Undirected and directed graph fundamentals and representation - Graph Traversal Algorithms (BFS, DFS) - Shortest Path Algorithms - Minimum Spanning Trees - Minimum Cut

Compétences à acquérir :

Algorithm design and analysis for graph problems.

Mode de contrôle des connaissances :

Midterm (partiel) and a final exam.

Algèbre et géométrie

ECTS : 4

Enseignant responsable : PATRICK BERNARD (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/bernard-patrick)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 58.5

Description du contenu de l'enseignement :

-Structure de groupe, groupes finis, exemples

-Quotients, actions de groupes, produits semi-directs

-Groupes commutatifs finis, structure, dual, transformée de fourier.

-Transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide.

-Les groupes O2 et SO2, les groupes diédraux

-Le groupe SO3, ses sous-groupes finis, les polyèdres régulers

Compétences à acquérir :

Le cours propose un certains nombre de thématiques d'algèbre et de géométrie autour de la théorie des groupes.

Pré-requis obligatoires

Le gout des mathématiques.

Microéconomie : concurrence imparfaite

ECTS : 4

Enseignant responsable : BERTRAND VILLENEUVE (https://www.linkedin.com/in/bertrand-villeneuve-0a5a152b/?originalSubdomain=fr)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

Tous les cours commencent par une revue de presse qui permet de relier les contenus d'enseignement à l'actualité et à augmenter le répertoire d'exemples.

1. Monopole, monopsone : performance et régulation
2. Oligopole : modèles de Bertrand, Cournot
3. Différenciation des produits : prix et qualités
4. Collusion : forme et stabilité des ententes
5. Relations verticales : contrôle des fournisseurs et distributeurs
6. Publicité
[Eventuellement. 7. Réseaux : transports, télécom, logiciels, etc. ]

Le cours comprend 13 séances de 1,5 h de cours et 13 séances de 1,5 h de TD.

Compétences à acquérir :

La boîte à outils de tout économiste s'intéressant au fonctionnement d'un marché précis. 

Que ce soit la pâte à papier ou le jeu vidéo, on veut comprendre ce que contrôlent les entreprises, ce que leur imposent leurs concurrents, si des entreprises entrent ou sortent du marché, etc. 

La modélisation permet une efficace application des mathématiques. 

La diversité très grande des situations d'imperfection de la concurrence permet de saisir la richesse de l'économie industrielle et sa pertinence pour la compréhension de questions d'actualité.

Pré-requis recommandés

Accessible à tout étudiant de L3, y compris n'ayant jamais fait d'économie. Pour ceux qui commencent l'économie, un effort particulier doit être fait lors des premiers cours.

Mode de contrôle des connaissances :

Un contrôle continu sur table (50%).

Un examen final sur table (50%).

Relativité restreinte et générale

ECTS : 4

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

• espace-temps, temps propre, 4-vecteur
• changement de réf, diag de Minkowski, compo vit, OdG, muons
• effet Doppler, aberration
• dynamique, collisions
• cadre math RG
• bases, géodésiques
• applications, métriques
• vers la cosmologie

Analyse fonctionnelle et analyse hilbertienne

ECTS : 6

Enseignant responsable : OLIVIER GLASS (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/glass-olivier)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 58.5

Description du contenu de l'enseignement :

Rappels sur la topologie des espaces métriques. Espaces vectoriels normés. Théorème de non-compacité de Riesz. Théorème de Baire.

Fonctions Lp. Inégalités de Minkowski et de Hölder. Espace Lp, complétude, réciproque du théorème de convergence dominée. Théorèmes de densité des fonctions régulières.
Produit de convolution dans L1(R). Généralisation : inégalité de Young. Bilinéarité, associativité, commutativité. Convolution et dérivation, et intégration. 

Transformée de Fourier dans L1(R). Continuité, dérivabilité de la transformée de Fourier. Translation. Lemme de Riemann-Lebesgue. Transformée de Fourier de la gaussienne. Injectivité. Inversion.Translation. Lien entre convolution et transformée de Fourier. Transformée de Fourier dans L2. 

Espaces de Hilbert. Produit scalaire réel, hermitien. Identité du parallélogramme, polarisation.
Projection sur un convexe fermé. Cas d’un sous-espace vectoriel fermé. Théorème de représentation de Riesz.
Orthogonalité. Familles orthonormales. Inégalité de Bessel. Bases hilbertiennes. Espace de Hilbert séparable. Égalité de Parseval.
Application : séries de Fourier. Polynômes trigonométriques. Densité dans L2. Séries de Fourier et régularité.

Compétences à acquérir :

Acquérir des bases en analyse fonctionnelle et en analyse hilbertienne.
Se familiariser avec les espaces de fonctions classiques qui interviennent en probabilités et en analyse.
Étudier la transformée de Fourier sur L1 et la convolution.
Se familiariser avec l’analyse hilbertienne, et l’appliquer à la transformée de Fourier dans L2 et aux séries de Fourier.

Calcul différentiel et optimisation numérique

ECTS : 6

Enseignant responsable : GUILLAUME BONNET (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/bonnet-guillaume)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 58.5

Description du contenu de l'enseignement :

Dérivées d'ordre supérieur, formule de Taylor avec reste intégral

Convexité

Convexité, coercivité, fonctions alpha-convexes

Optimisation libre

Rappel des taux de convergence des suites, Méthode de Newton multi-d, et méthode de gradient (présentation informelle)

Descente de gradient : ensembles de niveau, descente à pas constante, étude de la convergence et lien avec les valeurs propres

Descente de gradient dans le cas non-linéaire, descente à pas optimal

Descente à pas optimal

Règles d'Armijo, règle de Wolfe

Gradient conjugué

Sous-variétés, équation et paramétrage d'une sous-variété

Espace tangent

Théorème des extremas liés

Compétences à acquérir :

Voir la description du contenu de l'enseignement

Statistique mathématique

ECTS : 4

Enseignant responsable : VINCENT RIVOIRARD (https://www.ceremade.dauphine.fr/~rivoirar/)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

• Outils de probabilité
• Concepts fondamentaux de la statistique
• Estimation ponctuelle
• Intervalles et régions de confiance
• Tests d’hypothèses - Généralités
• Tests fondés sur la vraisemblance
• Tests asymptotiques - Tests du Chi2

Compétences à acquérir :

Ce cours reprend et complète le cours du premier semestre « Statistical modelling » sous l'angle théorique de la décision en statistique mathématique. Les principales notions abordées sont l'estimation paramétrique, les régions de confiance et les tests statistiques. 

Pré-requis obligatoires

Les notions de probabilité de la 2ème année de licence MIDO

Pré-requis recommandés

Les notions de probabilité de la 2ème année de licence MIDO - Notions enseignées lors du cours du premier semestre « Statistical modelling »

Mode de contrôle des connaissances :

Examen sur table

En savoir plus sur le cours : https://www.ceremade.dauphine.fr/~rivoirar/Poly-L3-StatMath.pdf

Anglais 6

ECTS : 2

Enseignant responsable : CATHERINE BOILLOT-PATTERSON (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/boillot-patterson-catherine)

Langue du cours : Anglais

Volume horaire : 19.5

Description du contenu de l'enseignement :

Throughout the semester, students work on audio and visual materials with a very strong emphasis on speaking. Group presentations and class participation are marked. grammar is studied in context. The written test is in relation to what has been studied in class. CV's, letters of motivation as well as interview techniques are studied.

Compétences à acquérir :

Students should be able to carry out a job interview and speak about a variety of different subjects at a high level.

Pré-requis obligatoires

none

Pré-requis recommandés

none

Mode de contrôle des connaissances :

All continuous assessment

Introduction au Machine learning

ECTS : 4

Enseignant responsable : TOM GUEDON (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/guedon-tom)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 36

Description du contenu de l'enseignement :

Ce cours d'introduction vise à introduire les notions fondamentales du "machine learning". A l'issue du cours les étudiants auront une vision générale de la discipline, et sauront décrire le fonctionnement et appliquer les algorithmes les plus classiques. Le but du cours est d'obtenir une vision d'ensemble de la discipline sans avoir la prétention d'approfondir les notions techniques.  

Compétences à acquérir :

• Comprendre et savoir expliquer ce qu’est le machine learning / apprentissage automatique
• Connaître les notions fondamentales du machine learning : apprentissage, évaluation, sur-apprentissage, apprentissage supervisé/ non supervisé
• Savoir reconnaître le type d'algorithmes à appliquer selon le problème considéré
• Connaître le fonctionnement des algorithmes classiques de machine learning 

Bibliographie, lectures recommandées :

• Chloé-Agathe Azencott, Introduction au Machine Learning, 2018
• T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman, The Elements Of Statistical Learning , 2009

Programmation linéaire

ECTS : 4

Enseignant responsable : BRICE MAYAG (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/mayag-brice)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 36

Description du contenu de l'enseignement :

• Modélisation en termes de programmes linéaires, aspects géométriques. 
• Méthode graphique.
• Algorithme du simplexe (méthode par pivot de Gauss (méthode du tableau) et méthode par substitution (dictionnaire). 
• Analyse de sensibilité
• Introduction à la dualité : définitions et interprétation du problème dual, utilisation des théorèmes faible et fort de la dualité, et théorème des écarts complémentaires. 
• Utilisation d’un solveur (AMLP, Cplex, GLPK…)

Compétences à acquérir :

Initier les étudiants à la modélisation à l'aide de la programmation linéaire et les former pour la résolution des programmes linéaires.

Mode de contrôle des connaissances :

Évaluation sur table (Contrôle continu et examen)

Analyse complexe

ECTS : 4

Enseignant responsable : JACQUES FEJOZ (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/fejoz-jacques)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

Fonctions holomorphes, théorie de Cauchy, séries de Taylor, séries de Laurent, principes géométriques (de l'argument, de conservation du domaine, du maximum), théorème de Riemann.

Compétences à acquérir :

Bases de l'analyse complexe.

Pré-requis recommandés

topologie du plan complexe.

Introduction aux équations aux dérivées partielles

ECTS : 4

Enseignant responsable : EMERIC BOUIN (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/bouin-emeric)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

1 - Histoire des EDP 

2 - Equations de transport : modélisation, méthode des caractéristiques, solutions classiques, solutions faibles, principe de superposition, equation de Burgers, phénomènes de chocs, solutions entropiques, méthodes numériques et simulation (Euler explicite, implicite, Lax-Friedrichs)

3 - Equation de la chaleur : modélisation, solution fondamentale, convergence à l’équilibre, résolutions particulières par Fourier (tore et espace entier), principe du maximum.

Compétences à acquérir :

1 - Histoire des EDP 

2 - Equations de transport : modélisation, méthode des caractéristiques, solutions classiques, solutions faibles, principe de superposition, equation de Burgers, phénomènes de chocs, solutions entropiques, méthodes numériques et simulation (Euler explicite, implicite, Lax-Friedrichs)

3 - Equation de la chaleur : modélisation, solution fondamentale, convergence à l’équilibre, résolutions particulières par Fourier (tore et espace entier), principe du maximum.

Produits dérivés et gestion des risques

ECTS : 4

Enseignant responsable : REMI LASSALLE (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/lassalle-remi)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

1. Rappel du modèle binomial, notion de probabilité risque neutre.
2. Théorie de l’arbitrage dans un modèle à une période. 
3. Marché complet et unicité de la probabilité risque neutre.
4. Sélection de probabilité risque neutre via la maximisation d’utilité.
5. Théorie de l’arbitrage dynamique (multi-périodes).
6. Options Américaines.

Compétences à acquérir :

Présenter les méthodes de mesure et d’analyse des stratégies de gestion des produits dérivés et des risques financiers.

Théorie des jeux

ECTS : 4

Enseignant responsable : YANNICK VIOSSAT (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/viossat-yannick)

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

1. Éléments de théorie de la décision. Représentation d'une situation d'interaction stratégique (forme stratégique, forme extensive, stratégies mixtes et de comportement, équivalence dans les jeux à mémoire parfaite). Rationalité bayésienne, connaissance partagée et connaissance commune.
2. Forme stratégique : stratégies dominantes, dominées, itérativement dominées. Meilleure réponse, équilibre de Nash, existence dans les jeux finis. Optimalité de Pareto. Jeux classiques.
3. Jeux à somme nulle, valeur, théorème du MinMax.
4. Forme extensive : induction amont, théorème de Zermelo, équilibre sous-jeux parfait.
5. Jeux répétés, coopération endogène.
6. Équilibres corrélés.

Compétences à acquérir :

Introduction à la théorie des jeux et à l’approche stratégique de la microéconomie.

Mode de contrôle des connaissances :

Examen écrit de mi-semestre et examen écrit en fin de semestre.

Physique statistique

ECTS : 4

Enseignants : ALESSANDRA IACOBUCCI, CLEMENT TAUBER
https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/iacobucci-alessandra
https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/tauber-clement

Langue du cours : Français

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

Une introduction à la physique statistique du point de vue des mathématiques

• De la thermodynamique à la physique statistique
• Notions sur les systèmes dynamiques ergodiques et hamiltoniens, entropie
• Théorie cinétique des gaz (équation de Bolzmann, thermodynamique du gaz parfait)
• Formalisme de Gibbs (ensembles microcanonique et canonique)
• Introduction aux transitions de phases 

Compétences à acquérir :

Maîtrise des notions élémentaires de l'approche mathématique à la physique statistique

Pré-requis obligatoires

Intégrale de Lebesgue et probabilités

Pré-requis recommandés

Quelques notions en thermodynamique peuvent être utiles mais pas indispensables. 

Allemand 5&6

ECTS : 4

Enseignant responsable : ANNE CAUDAL (https://dauphine.psl.eu/recherche/cvtheque/quinchon-caudal-anne)

Langue du cours : Allemand

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

Compétences à acquérir :

Espagnol 5&6

ECTS : 4

Enseignant responsable : BEATRICE AMISSE

Langue du cours : Espagnol

Volume horaire : 39

Description du contenu de l'enseignement :

Contenu variable selon le niveau du groupe, approche actionnelle : entraînement à la prise de parole en continu et en interaction (réagir, dialoguer) et à la compréhension écrite et orale : repérer les informations principales d’un texte, comprendre l’essentiel d’un document audio et/ou vidéo.

Le but visé est de rendre, à chaque niveau, l’étudiant capable de communiquer non seulement dans le cadre de la vie de tous les jours, mais aussi dans celui du monde professionnel avec des interlocuteurs natifs.

Les séances ont lieu toute l’année (cours annuel), et l’évaluation compte pour le semestre 6.

Compétences à acquérir :

Les étudiants seront répartis, après un test de niveau qui a lieu à la rentrée, par groupes allant depuis le niveau A1 (débutants acceptés) jusqu'au niveau B2/C1. 

Les activités seront adaptées en fonction du niveau des apprenants, l’objectif étant d’amener chaque étudiant, en fonction de son niveau de départ, à développer son autonomie langagière. 

Les étudiants s’entraîneront principalement à la compréhension et à la production orale. L’accent sera également mis sur la connaissance des conventions sociales et des référents culturels propres au monde hispanique. 

Pré-requis obligatoires

Aucun.

Pré-requis recommandés

Ce cours est ouvert aussi bien aux étudiants qui souhaitent découvrir la langue espagnole qu'à ceux qui ont déjà étudié cette langue vivante dans l'enseignement secondaire et/ou à l'université.

Mode de contrôle des connaissances :

100% Contrôle continu. 

Présence indispensable à tous les cours.

Sport 5&6

ECTS : 4

Langue du cours : Français