Intégrale de Lebesgue et probabilités
ECTS : 10
Volume horaire : 117
Description du contenu de l'enseignement :
Intégrale de Lebesgue
- Rappels sur l'intégrale de Riemann.
- Fonctions Riemann-intégrables, fonction caractéristique de Q
- Tribu, tribu engendrée, tribu borélienne sur R, sur la droite achevée et sur Rn, tribu produit
- Tribu réciproque (“tribu engendrée par une v.a.”), tribu image
- Mesures positives, probabilités
- Fonctions mesurables, lien avec la continuité, opérations sur les fonctions mesurables, mesure image
- Classe monotone, exemple : unicité de la mesure de Lebesgue
- Fonctions étagées, intégrale des fonctions étagées positives
- Approximation des fonctions mesurables par des fonctions étagées, intégrale des fonctions mesurables
- Lemme de Fatou, théorème de convergence monotone
- Fonctions intégrables, théorème de convergence dominée
- Intégrales dépendant d'un paramètre
- Lien avec le calcul différentiel
- Lien avec l'intégrale de Riemann
- Espaces L1 et L2, complétude
- Espaces Lp, inégalités de Hölder, Jensen, Minkowski
- Mesures produit
- Théorème de Fubini
- Formule du changement de variables
Probabilités
- Espace de probabilité. Variable aléatoire et loi d'une variable aléatoire. Variables discrètes ou à densité
- Espérance et loi d'une variable aléatoire, lois marginales
- Moments d'ordre p, variance, inégalités associées
- Fonction caractéristique, caractérisation de la loi, exemples
- Indépendance
- Loi produit, caractérisations de l'indépendance
- Regroupements par paquets, indépendance dans le cadre d'une famille infinie
- Lemme de Borel-Cantelli, loi faible des grands nombres, loi du 0-1
- Notions de convergence
- Implications entre les modes de convergence
- Loi forte des grands nombres
- Convergence en probabilités
- Théorème central limite
- Vecteurs gaussiens
- Espérance conditionnelle dans L2
- Théorème de Radon-Nikodym
- Espérance conditionnelle dans L1
Compétence à acquérir :
Introduction à l’intégrale de Lebesgue et à la théorie des probabilités.
Mode de contrôle des connaissances :
Deux épreuves écrites
Bibliographie, lectures recommandées :
Philippe Barbe et Michel Ledoux : « Probabilité »